主要内容：
本文介绍基本万能k法、不等法、多种换元法，以及导数法、构造函数法等，求解已知√(127x-50)+√(23y-83)=77条件下，计算127x+23y的最小值的详细过程步骤。
※.万能k值法
已知√(127x-50)+√(23y-83)=77条件下，计算127x+23y的最小值。解：设127x+23y=k，则有:23y=k-127x，代入条件有：
√(127x-50)+√(k-127x-83)=77，
移项，并两边平方有：
k-127x-83=77²-2*77√(127x-50)+127x-50，
方程进一步化简有：
2*77√(127x-50) =2*127x+83-50+77²-k，
两边再次平方，展开有：
4*127²x²+4127(5962-k-77²)x+(5962-k)²+2²*77²*50=0,
方程对x有解，则二次方程的判别式为非负数，即：
[4127(5962-k-77²)]²-4*4*127²*[(5962-k)²+2²*77²*50]≥0，
(5962-k-77²)²-(5962-k)²+2²*77²*50≥0，
即：k≥5962-(1/2)* 77²+2*50=1/2·6195。
※.柯西不等式法
已知√(127x-50)+√(23y-83)=77条件下，计算127x+23y的最小值。
二维柯西不等式：对于任意实数a、b、c、d，满足(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²，当且仅当ad=bc时等号成立。对于本题，观察有：
a=√(127x-50)，b=√(23y-83)，c=1，d=1,
则运用上述二维柯西不等式，有：
(127x-50+23y-83)(1²+1²)≥[√(127x-50)·1+√(23y-83)·1]²，进一步化简有：
2(127x-50+23y-83)≥77²，则：
127x-50+23y-83≥(1/2)·77²,所以：
127x+23y≥(1/2)·77²+50+83=1/2·6195。
※.中值换元法
已知√(127x-50)+√(23y-83)=77条件下，计算127x+23y的最小值。解：设√(127x-50)=77/2-ω，√(23y-83) =77/2+ω，其中-77/2≤ω≤77/2；
两边分别平方，上式可变形为：
127x-50=(77/2-ω)²，23y-83=(77/2+ω)²,即：
127x=(77/2-ω)²+50，23y=(77/2+ω)²+83，
所求代数式127x+23y
=(77/2-ω)²+50+(77/2+ω)²+83
=2*(77/2)²+2ω²+50+83
≥(77²/2)+50+83
=1/2·6195。
※.双换元法
已知√(127x-50)+√(23y-83)=77条件下，计算127x+23y的最小值。
解：设√(127x-50)=s，√(23y-83)=d，则有：
127x-50=s²，23y-83=n²，s+ d=77，
即:127x= s²+50，23y= d²+83，所以：
127x+23y= s²+d²+50+83
=(s+d)²-2sd+50+83
=77²-2sd+50+83。
对于正数s、d，由基本不等式可知：
sd≤[(s+d)/2]²=77²/4;
此时原式≥77²-(77²/2)+50+83
=(77²/2)+50+83
=1/2·6195。
※.共轭换元法
已知√(127x-50)+√(23y-83)=77条件下，计算127x+23y的最小值。解：设√(127x-50)-√(23y-83)=c，与已知条件两边平方，相加可有：
2*(127x-50)+2*(23y-83)=c²+77²，化简为：
127x+23y=(1/2)*(c²+77²)+50+83，
则：127x+23y≥(1/2)* 77²+50+83，
即：127x+23y≥1/2·6195，所以：
所求代数式的最小值为1/2·6195。
※.三角换元法
已知√(127x-50)+√(23y-83)=77条件下，计算127x+23y的最小值。解：设√(127x-50)=77sin²ε，√(23y-83) =77cos²ε，
两边同时平方，并变形有：
127x=77²sin⁴ε+50，23y=77²cos⁴ ε+83,
则所求代数式变形为：
原式=77²sin⁴ ε+50+77²cos⁴ ε+83
=77²(sin⁴ ε+cos⁴ ε)+50+83
=77²[(sin²ε+cos²ε)²-2 sin²εcos²ε]+50+83
=77²[1-(1/2)sin²2ε]+50+83,
可知当sin²2ε=1时，有最小值，即：
原式≥(1/2)·77²+50+83=1/2·6195。
※.导数解析法
已知√(127x-50)+√(23y-83)=77条件下，计算127x+23y的最小值。解：设127x+23y的最小值为z，则：
y=(1/23)(z-127x)，此时：dy/dx=-127/23。
再对已知条件求导数，有：
127√(127x-50)+23*(dy/dx)√(23y-83)=0,
代入dy/dx的值，变形有：
127·23√(127x-50)=23·127√(23y-83)，
进一步展开，可化简为：
127x-50=23y-83，即：
127x-50=23y-83=(1/4)·77²；
所以原式最小值为
=(1/4)·77²+50+(1/4)·77²+83
=(1/2)·77²+50+83
=1/2·6195。
※.构造函数法
已知√(127x-50)+√(23y-83)=77条件下，计算127x+23y的最小值。解:设函数J=127x+23y-φ[√(127x-50)+√(23y-83)-77]，分别对J进行求三个偏导数，有：
Jx=127-(1/2)φ·127√(127x-50)，
Jy=23-(1/2)φ·23√(23y-83),
Jφ=√(127x-50)+√(23y-83)-77;
令Jx= Jy=Jφ=0，则有：
√(127x-50)=√(23y-83)=(1/2)φ，
进一步求出：(1/2)λ+(1/2)φ=77，即：φ=77，
则:√(127x-50)=√(23y-83)=(1/2)·77，
所以原始最小值为
=(1/4)·77²+50+(1/4)·77²+83
=(1/2)·77²+50+83
=1/2·6195。
