本篇核心内容： 函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性，以及指数函数、对数函数、幂函数、二次函数的图象与性质，是贯穿高中数学的主干知识。
二次函数核心抓开口、对称轴、判别式、区间最值、零点分布，常结合不等式、复合函数考查。
二次函数是高考数学中出现频率最高的基本初等函数之一，几乎渗透在每一套试卷中——选择题、填空题常考最值、零点分布、恒成立问题，解答题中更是导数压轴题的底层载体，很多压轴题本质上就是在研究含参二次函数的性质。
第三篇 专题函数及其性质（3） 【高考数学教材基础】
四、二次函数
1. 二次函数的三种形式
①一般式
f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)
开口方向：a > 0 开口向上；a < 0 开口向下
对称轴：x = -b/(2a)
顶点坐标：(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))
与y轴交点：(0, c)
②顶点式
f(x) = a(x-h)² + k，顶点为(h, k)
对称轴：x = h
最值：当a>0时，x=h处取最小值k；当a<0时，x=h处取最大值k。
③交点式（两根式）
f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)，x₁, x₂为方程ax²+bx+c=0的两根
与x轴交点：(x₁, 0) 和 (x₂, 0)
存在条件：Δ = b²-4ac ≥ 0
2. 二次函数在区间上的最值问题
求二次函数 f(x) = ax² + bx + c (a≠0) 在闭区间[m, n]上的最大值和最小值，关键是讨论对称轴 x = -b/(2a) 与区间[m, n]的位置关系。
分类讨论要点：
对称轴在区间左侧（-b/(2a) ≤ m）：函数在[m,n]上单调，最值在端点处取得
对称轴在区间内部（m < -b/(2a) < n）：最值可能在顶点或端点处取得
对称轴在区间右侧（-b/(2a) ≥ n）：函数在[m,n]上单调，最值在端点处取得
口诀：离对称轴越远函数值越大（a>0时）；离对称轴越近函数值越大（a<0时）。
举例题目：已知函数 f(x) = −x²−2ax−a (x<0)；f(x) = eˣ + ln(x+1) (x≥0) 在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）
A. (−∞, 0] B. [−1, 0] C. [−1, 1] D. [0, +∞)
【解析】 x≥0 时 eˣ+ln(x+1) 显然递增。x<0 时二次函数对称轴 x=−a，需在 (−∞,0) 上递增，故 −a ≥ 0 ⇒ a ≤ 0；
再卡衔接点：lim_{x→0⁻} f(x) = −a ≤ f(0) = 1 ⇒ a ≥ −1。综上 −1 ≤ a ≤ 0，选 B。
3. 含参二次函数问题
讨论二次项系数a是否为0（退化为一次函数）
讨论判别式Δ的正负（有无实根）
讨论对称轴与给定区间的位置关系
恒成立问题：转化为求最值（分离参数法或分类讨论法）。
Explorer of Innovative Thinking
Author: Li Hong
Yunyang High School, Shiyan City, Hubei Province
October 6, 2026.
