初版于 1940 年 11 月。作者:G H 哈代。
哈代（Godfrey Harold Hardy，1877年2月7日－1947年12月1日） ，英国数学家
第一节
一位职业数学家发现自己竟在“解释数学”，而非真正“做数学”，这滋味颇有些凄凉。数学家的本分是去“做数学”——证明新定理，为数学大厦添砖加瓦，而不是在这里絮絮叨叨自己或别人做过什么。
政治家瞧不起政治评论家，画家瞧不起艺术评论家。生物学家、物理学家或数学家通常也有着同样的轻蔑：创造者对那些只会解释的人，向来报以最深、且大体上也最合理的鄙视。阐释、批评、赏析，终究是二流头脑干的活儿。
我还记得，曾就这一点与豪斯曼有过一次少有的严肃争论。豪斯曼在其莱斯利·斯蒂芬讲座《诗的名与实》中，斩钉截铁地否认自己是“文学评论家”；可那否认的方式在我看来，说不出的别扭，而他流露出的对“文学评论家”的艳羡，更令我瞠目结舌，简直觉得有伤风化。
他先引了自己二十二年前就职演说里的话：
“文学评论之才是否是上天宝库中的最佳恩赐，我不敢妄言；但上天似乎总是如此认定。演说家与诗人，若与珍馐相比还算稀罕，但是却比哈雷彗星的回归要更常见。而文学评论家则更是稀罕……”
接着他又说：
“这二十二年来，我某些方面有所长进，某些方面则退步了；但我既未成长到文学评论家的高度，也未退步到会自以为自己已然成了文学评论家的程度。”
在我眼里，一位大学者兼优秀诗人竟口出此言，实在可悲。几星期后我与他恰好在餐厅里坐邻座，我便单刀直入地表露了看法。
他是否真把那些话当真？
展开全文在他眼里，一流的文学评论家的一生竟能与一流的学者、诗人的一生相提并论？
我们整场晚餐都在辩论这两个问题，我想他最后被我说服了。我并非要宣称在辩论上击败了一位已无法还口的人。
但他对第一个问题的最终回答是“也许不尽然”。
对第二个问题则是“大概不会”。
豪斯曼究竟怎么想，或许尚有疑义，我也无意拉他站队。但科学家们的感受是毫无疑问的，而我亦全然赞同科学家的看法。因此，倘若我此刻写的不是数学，而是关于“解释数学”的文字，那不过是我力不从心的自辩。年轻而精力充沛的数学家们，尽可鄙夷或怜悯我。我之所以“解释数学”，是因为——如同任何年过花甲的数学家——我已不再拥有那份敏锐、那份劲头，也不再耐得住那份寂寞，去干我本该干的正事了。
第二节
我打算为数学作一番辩护；有人也许会说，数学如今已然无须辩护——无论出于好理由还是坏理由，它几乎被公认为是一门“有用且值得称颂”的学问。此话不假，甚至能更进一步：自爱因斯坦的胜利轰动世界以来，在公众心目里，大概只有恒星天文学和原子物理的地位或比数学更高。数学家如今确已不必时时处于守势，再不会遇到布拉德雷在《现象与实在》序言中为“形而上学”辩护时所描述的那种诘难。
照布拉德雷的说法，形而上学家总会被教训：“形而上学知识全然不可能”；或者“即便可能，也毫无实际价值”。“老问题、老争论、老失败——何不趁早放弃？世间就没有更值得你耗费精力的东西？”没人蠢到会拿这套话去数落数学。数学真理的体量庞大且显赫。桥梁、蒸汽机、发电机之类的应用，即便是最迟钝的想象力也无法回避。公众根本无需被说服“数学的的确确有点东西”。
这一切固然令数学家安心，却难以让一位真正的数学家就此满足。任何真正的数学家都明白，数学的真正价值并不在于这些粗显的功业。数学在大众口中的名声，多半建立在无知与混淆之上，因而仍有待更理性的辩护。无论如何，我打算试上一试——这总比布拉德雷那份艰难的申辩容易些。
那么，我不禁要问：
数学究竟为何值得被认真钻研？
数学家一生的正当性何在？
我的回答，将多半出于数学家本位的立场：我认为值得，且理由充足。但必须先声明，我为数学的辩护，同时也是为自己的辩护；这份“自白书”注定带有几分自我中心。倘若我自认自己是数学的失败者，我便不会觉得为数学及自己辩护有何意义。
这类“以自我为中心”在所难免，我也不觉得需要为此辩解。卓越的工作从不是“谦卑”之人做出来的。以任何学科的教授为例，其首要职责之一，便是把自己的学科以及自己在其中的分量，都稍稍夸大那么一点。
一个人若总是自问“我所做是否值得？”“我是否合适的人选？”那他必然使自己一事无成，亦令他人失望。他必须稍稍闭上眼睛，让学科与自己都比实际更值得尊敬一点儿。做到这一点并不难；更难的是别把眼睛闭得太紧，以致学科与自身都沦为笑柄。
第三节
一个试图为自己的存在以及自己的行当辩护的人，必须分清两个不同的问题。
第一，他所做的事是否值得做？
第二，无论其价值如何，他为何偏要做这个行当？
第一个问题往往极难，答案也常令人沮丧。但大多数人即便在第一个问题上碰壁，也会发现第二个问题轻而易举——只要诚实，他们的回答通常只有两种形式，而第二形式的回答不过是第一种形式回答的谦逊版，因此我们只需认真考虑第一种形式的回答。
（1）“我做这件事，是因为它是唯一一件我做得还不错的事。我是律师、股票经纪人或职业板球手，皆因我在那一行当真有点天赋。我当律师，是因为我口齿伶俐，又喜欢法律上的细枝末节；我做股票经纪人，是因为我对市况的判断既快且准；我打职业板球，是因为我击球异常出色。我也承认，若能当诗人或数学家或许更好，可惜我无此才能。”
我并非说大多数人都能搬出这套说辞——毕竟大部分人什么都做不好。
但若能毫不荒谬地这样说，比如确实有五分之一乃至十分之一的人能把某件事做得“相当好”，则此回答的防线固若金汤。
真正能把一件事做到“极好”者，凤毛麟角。
而能同时把两件事做到“极好”的人，几近于零。
一个人若真有天赋，便应该将这天赋发挥至极，而宁愿牺牲其他一切。
约翰逊博士曾表赞同。当我告诉他，我去看了与约翰逊同名的人士骑三匹马。约翰逊博士说：“先生，此人应受鼓励，因其表演展现了人类能力之极限……”
同理，人们也会为登山者喝彩、为横渡英吉利海峡的勇士喝彩、为蒙眼下棋者喝彩。就我而言，我由衷同感于一切此类超凡绝技。即便对魔术师、口技艺人，我依然抱存嘉许。当阿廖欣或布拉德曼挑战纪录时，如果他们失手，我会切齿扼腕。在此，约翰逊博士与我都和公众同频共振。正如 W. J. 特纳所言，唯有“臭棋篓子”才不仰慕“真正的高手”。
当然，我们得顾及不同行当之间的价值差异。我宁做二流小说家或画家，也不愿当个二流的政客。通往声名的许多条路，我们多半会视其为公害而拒绝。然而，这种价值差异很少左右一个人对职业的选择——选择几乎总受限于天赋。诗比板球更有价值，但若布拉德曼为写二流小诗而放弃板球，便是蠢材（且我怀疑他也写不出更好）。若板球水平略逊，而诗才更高，抉择或许更难：我不知自己是选择维克托·特兰珀，还是鲁珀特·布鲁克。幸而此类两难极少出现。
我还可以补充：数学家尤其不太可能遭遇这种抉择。人们惯于过分夸大数学家与常人思维方式的差异，但不可否认，数学天赋是最专精的才能之一。数学家作为一个群体，并不以全面或多才多艺著称。一个人若在某种意义上是“真正的数学家”，则十有八九，他的数学远胜于他所能做的任何其他事情。若他为在别的不起眼的领域干活，而放弃任何像样的机会去施展这唯一的天赋，那就太傻了。这种牺牲唯有在经济所迫或年老力衰之时方可原谅。
第四节
此处最好就“年纪”问题说几句，因为它对数学家尤其要紧。任何数学家都不该忘记：数学，比任何其他艺术或科学，都更像是一场年轻人的游戏。举一条较“底层”的简单证据：皇家科学会会员当选的平均年龄，在数学界是最低的。当然，我们还能找到其他更惊人的例子。
试看一下公认的世界前三数学家：牛顿五十岁便彻底放下数学，且早在此之前已失去热情；他无疑在四十岁左右就意识到自己最具创造力的年华已逝。他最伟大的思想——微积分与万有引力定律——诞生于约 1666 年，当时他二十四岁。“那时我正处发明盛年，对数学与哲学的专注此后从未再现。”近四十岁前他仍有重大发现（“椭圆轨道”时年三十七），但之后的工作几乎只剩修修补补。
伽罗瓦卒年二十一，阿贝尔二十七，拉马努金三十三，黎曼四十。也有人晚年仍有大成：高斯关于微分几何的巨著发表时已经五十岁，但是其核心思想十多年前就已成熟。我尚不知哪项重大数学进展是由年过五十的人发起的。若一位“不惑之士”对数学兴味索然、并就此罢手，其损失对数学而言并不严重，对他本人而言，亦是如此。
反之，如若转行，他的“收益”也难称丰硕：数学家后来的履历并不鼓舞人心。牛顿当铸币厂厂长还算称职，只要他不跟人吵架；潘勒韦当法国总理并不算成功；拉普拉斯的政治生涯更可谓丑闻，但他不算公允例子——他并非无能，而是不诚实，且从未真正“放弃”数学。
要找一位一流数学家放弃数学后又在别的一流领域登峰造极的例子，几乎遍寻不得。也许有些年轻人仅凭数学，本可成为第一流数学家，但我从未听过真正可信的实例。就我极有限的亲身观察，也完全印证这一点：凡我所识的、有真才实学的年轻数学家，无不对数学忠贞不渝；并非他们缺少雄心，恰恰相反，他们深知，若欲此生有所成就，那条路几乎非数学莫属。
第五节
还有一种我称之为“标准辩词”的谦逊版，但可三言两语打发了。
(2) “我没什么特别做得好的事。我做这个，是因为它恰好落到我头上——我从来就没机会干别的。”
我也承认这番自辩算得“结案陈词”。确实，大多数人什么都做不好；若真如此，他们选哪一行都无所谓，自然更无赘言。只是，这虽是个“结论”，却不大可能出自尚有自尊者之口；而我敢断言，在场诸位没人会对这个答案满意。
第六节
该认真思考我在第3节提出的第一个问题，这是一个远比第二个棘手的问题：所谓数学——我和其他数学家所理解的数学——究竟值不值得做？若值得，又为何值得？
我又翻出1920年在牛津就职演说开头那几页，其中勾勒了一份为数学辩护的纲要。它极不充分（不过两页纸），行文风格（我当时自以为的“牛津腔”处女秀），如今也让我汗颜。但我仍觉得，无论需怎样扩充与修正，其骨架依旧抓住了要害。现将当时所言作一提要，作为深入讨论的引子。
（1）我首先强调数学的“无害”——“数学研究，即便无利可图，也是一门完全无害且清白的职业。”我仍坚持此说，但显然需大幅展开与澄清。
数学真的“无利”吗？某些方面显然并非无利——它毕竟给相当多的人带来巨大乐趣。不过我取“利”字较狭之义：数学是否如化学、生理学那般“有用”——直接有用？这并非轻而易举亦无争议的问题，我最终将给出一个“否”字，尽管若干数学家与局外人无疑会说“是”。
数学又是否“无害”？答案亦非显而易见，且此问我本欲回避，因为它牵出科学对战争之影响的整个难题。数学是否如化学那样“有害”？我稍后需回到这两个问题。
（2）我接着说：“宇宙尺度宏大，若说我们浪费时间，区区几个大学先生的生命浪费，亦算不上惊天大祸。”此处我似乎摆出了方才还鄙夷的“夸张谦卑”姿态。我敢信那并非我心：我不过想用一句话概括第3节已详述之意——假定我等先生们确有小才，则尽力将其培育，总不会错到哪儿去。
（3）最后（如今读来颇觉辞藻堆砌的几句），我要强调数学成就之“永恒”。
“我们所作所为，或许微小，却带有一种永恒性；若能产出任何一丝永久价值之物，无论是一首小诗或一条几何定理，皆已做到绝大多数人力所不能及之事。”
以及“当古典与现代学问冲突之时，必有一种研究值得称道：它既不起于毕达哥拉斯，亦不会终于爱因斯坦，而是最古亦最新。”
凡此皆“修辞”，然其骨仍真，我可立即展开，而不损及我所留而未决的其他问题。
第七节
我假定自己写给那些胸怀壮志的读者，抑或曾经胸怀壮志的读者。一个人的首要责任，尤其是年轻人的责任，就是要“有雄心”。“雄心壮志”是一种高贵的激情，可以合法地表现为多种形式；阿提拉或拿破仑的“雄心”里也有某种高贵，但最高贵的“雄心”，是留下某种永恒的东西——
在此，沙平海阔之间，
我该筑什么、写什么，
才能抵御夜幕之降？
告诉我，该刻下怎样的咒符，
能挡住崩裂之潮，
或设计怎样的堡垒，
比我寿命更恒久。
“雄心”几乎是世间一切最杰出成就的策源地；具体而言，人类幸福的大幅提升，也几乎全由此类人完成。举两个著名例子：李斯特与巴斯德不正是雄心壮志之人？再低几级，吉列国王（保险剃刀）与威廉·威利特（夏令时倡议者）又如何？近代还有谁比他们更让人类过得舒适？
生理学尤其能提供好例子，正因为它显而易见地“有益”。我们得提防科学辩护者常犯的一桩谬误：以为那些最造福人类的人，工作时总想着“造福人类”；例如，以为生理学家因此拥有特别高贵的灵魂。一位生理学家或许乐于记得自己的研究将惠及人类，但赋予他力量与灵感的动机，与古典学者或数学家并无二致。
促使人们投身研究的动机，有许多备受尊崇，但有三项远胜其它。
第一是理智的好奇心，对真理的渴望。缺了它，其余皆成泡影。
第二是职业自尊心。对自己表现的极致苛求。任何自重的工匠在作品配不上自己才华时都会感到羞耻。
第三是雄心壮志。对名誉、地位，乃至由此带来的权力或金钱的欲望。
当你完成工作后，或感觉增添了他人幸福，抑或感觉减轻了他人痛苦，那感觉或许美妙，却绝非你当初去做的原因。
因此，倘若一位数学家、化学家，甚至生物学家告诉我，驱使他工作的主要动力是“造福人类”，我不会相信他。即便信了，我也不会因此更敬重他。他的主导动机，正是我上面所列的那些，而其中，无疑没有任何一项会让一个正派人士感到羞愧。
第八节
如果说促使研究的根本动力是理智的好奇心、职业的自豪感与对“永恒”的雄心壮志，那么没有人比数学家拥有更公平的机会去同时满足这三者。
数学家的研究对象最为离奇——再没有一个领域，真理会如此恣意地恶作剧；它拥有最精致、最迷人的技巧，也为纯粹的职业技艺提供无可匹敌的舞台；而历史更充分证明，无论内在价值如何，数学成就是所有成就中最“永恒”的一种。
即便在半史前的文明里，我们也能看到这一点。巴比伦与亚述帝国早已灰飞烟灭，汉谟拉比、萨尔贡、尼布甲尼撒只剩空名；然而巴比伦的数学依旧有趣，其六十进制至今仍用于天文计算。当然，最关键的例证是希腊。
希腊人是我们至今尚能“真切”感知的第一批数学家。东方数学或许可称为有趣的猎奇，希腊数学却是“真货”。希腊人最先说出一种现代数学家仍能听懂的语言：正如利特尔伍德曾对我说，他们并非“聪明学童”或“奖学金候选人”，而是“另一所学院的院士”。因此，希腊数学比希腊文学更“恒久”。阿基米德仍会被铭记，而埃斯库罗斯终将被遗忘——因为语言会死，数学思想不会。“不朽”或许是个可笑的字眼，但数学家最有机会触及“不朽”，以及“不朽”可能意味着的一切。
数学家也无需过分担心未来会待己不公。“不朽”常显荒谬甚至残忍：少有人愿做奥格、亚拿尼亚或加利奥。即便在数学里，历史偶尔也开玩笑：罗尔在初等微积分课本里俨然像是牛顿级别的数学家；法里因“未能理解”哈罗十四年前已完美证明的定理而名垂青史；五位可敬的挪威人只因一次“尽责的蠢行”仍留在阿贝尔传记里，以他们国家最伟大人物为代价完成了那次义务。
但总体而言，科学史是公正的，数学尤其如此。再没有一个学科拥有如此泾渭分明且被一致接受的评判标准；被铭记的，几乎总是应当被铭记的人。数学声望是最稳固、最可靠的投资之一，只要你能得付出价码。
第九节
这一切对大学先生们、尤其对数学教授们，无疑是莫大的安慰。律师、政客或商人有时会说：学术生涯大抵是由“谨慎”而“缺乏野心”之辈所选，他们图的无非安逸与稳当。此言大谬。
一位先生既选择当先生，便放弃了某些东西，尤其放弃了赚大钱的机会。教授年薪想达两千英镑已实属不易；而终身教职的保障，正使这种“放弃”变得容易。这并非豪斯曼拒绝当“西蒙勋爵”或“比弗布鲁克勋爵”的原因。他之所以拒绝，恰因他的野心：他不屑于在二十年后便被人遗忘。
编者注：2000英镑折合471盎司黄金。
然而，坐拥这些“优待”却仍可能失败——这痛苦难言。我仍记得伯特兰·罗素向我讲述的一场噩梦：
公元约2100年，他置身大学图书馆顶层。一名馆员推着巨桶巡架，抽书、翻几页，或放回原处，或随手掷入桶中。终有三巨册落入他眼——罗素认出那是《数学原理》的最后传本。馆员抽出一册，翻数页，对那古怪符号略一皱眉，阖卷，托在手中，踌躇……
第十节
数学家，如同画家或诗人，是模式的创造者。倘若他的模式比他们的更恒久，那是因为模式是用“观念”（ideas）铸成。画家以形色构形，诗人以词句成象；一幅画可以“寓意”其观念，但那观念通常平庸且无足轻重。在诗里，观念分量加重，然而正如豪斯曼所坚持：诗里观念的重要性被习惯性地夸大了——“我不承认存在所谓诗意观念……诗并非所言之物，而是言之方式。”
怒海狂涛， 洗不去膏油君王之香。还能有比这更妙的诗句吗？又能有比此更陈腐、更虚妄的“观念”吗？观念的匮乏几乎无损于文字、油画之美。数学家则不然，他手边只有观念可用，故其图案更可能长存，因为观念比文字更能耐受住时间的磨损。
数学家的图案，与画家、诗人的一样，必须美丽；其观念如色彩、如词语，须和谐相嵌。美是首要检验，丑陋的数学在这个世界无立足之地。此处我得澄清一种至今尚存的误解，即怀特海所称的“文学迷信”：对数学的审美欣赏被视为“每代仅少数怪癖者才有的偏执”。
如今要找一个对数学之美毫无所感的受过教育者，已颇不易。数学美也许难以定义，但任何美皆如此。我们未必说得出何谓美丽诗篇，却能在阅读时一眼认出。连霍本教授——那位不惜一切贬低数学审美因素的人——也不敢否认其存在。“确有个别人，对数学感到一种冷峻而非个人的吸引……数学的审美感召对极少数人可能很真实。”但他暗示这“极少数”既“冷峻”又可笑，蛰居狭小大学城，吹不到辽阔天地的清风——他只是重复怀特海的“文学迷信”。
事实恰相反：几乎没有比数学更“大众”的学科。多数人都能欣赏一点数学，正如多数人能享受一段悦耳旋律；真正对数学感兴趣的人，或许比爱好音乐的还多。表面看似乎相反，原因却简单：音乐可用来煽动集体情绪，数学却不能。乐感缺失被视为轻度可耻，而大多数人对“数学”二字如此恐惧，以至毫不做作地夸大自己数学方面的愚钝。
稍一思索，便足以揭穿“文学迷信”之可笑。每个文明国家都有大量棋迷。在俄国，几乎全体知识阶层皆然；每位棋手都能欣赏一盘“美丽”的对局或牌局。然而棋局牌局纯是数学练习（对局不完全是，因心理亦起作用）。任何人高呼一局棋“美极了”，都是在为数学之美喝彩，纵使其棋技较低。任何棋局牌局，均可谓数学的“赞美短歌”。
在更低端却更广众的层面，桥牌。再往下，比如大众报纸的益智栏，皆属同趣。那些栏目惊人的吸引力，几乎全归功于初等数学的勾魂术；优秀谜题作者如杜德尼或“卡利班”，几乎只用这点法宝。他们太懂行：公众需要的只是稍微一点点智力“刺激”，而世上没有哪种刺激比数学更带劲。
还可补充：世上最令名人快意之事，莫过于发现或重新发现一个真正的数学定理。赫伯特·斯宾塞在其自传里重刊一则关于圆的定理，二十岁时自证（不知柏拉图早在两千多年前已证）。索迪教授是更近也更轰动的例子——不过他的定理确属原创。
